異議申し立てをしていても受付は受理されますので、受給日のカウントはされます。追記市民税は４期、国保税は７期にわけて納税通知、納付書が来てますよね。

失業保険受給中に採用が決まったが、その入社日が１ヶ月以上先の場合、失業保険はいつまで貰えますか？

１ヶ月以内であるなら入社日の前日まで貰えると思いますが、入社日が次の認定日より後の日になった場合だとどうなりますか？

採用通知が来た日までになりますか？

それとも次の認定日で終わりになりますか？

就職日の前日まで支給されます。
次回認定日に就職決定の旨を伝え、出来れば「雇用保険ご利用のしおり」の最終ページに添付されている採用証明書に採用先の会社印・採用決定日・就職日（働き始める日）等を記入してもらい、ハローワークに届ければ認定日に求職活動ナシでも認定され手当の支給がされます。

尚、就職日に所定給付日数の１/３以上の残支給日数があれば、再就職手当の受給も可能です（但し１年以上の雇用見込みと雇用保険加入が条件です）

離職票の退職理由を嘘つかれた場合

「辞めてくれ」といわれたのに自己都合退職として離職票を書かれてた場合、
異議申し立てが出来ますよね？

【質問１】異議申し立てしてる期間は会社とは水かけ論で争う可能性が高いですよね？
その間、嘘の理由で書かれた受理印のある離職票を退職者がハローワークに提出してない事になってるのですか？
もしそうなら失業保険の受給開始も遅れますよね？

【質問２】もし、質問１のような水かけ論で争う事になった場合、
在職中にどんな証拠を揃えておけば即決着をつけられますか？

【質問３】また、何日以内に異議申し立てをしないといけないのですか？

１離職票は本人の受理印やサインがなくても事業所は手続きが出来ます。離職票は事業主が３部複写の物を作成して、ハロワで受付をし、その時一部をハロワが、一部が事業主控え、もう一部が本人用として送られてきます。その印の無い状態の本人用の離職票を持ってハロワに本人が手続きに行って初めて受付がされます。その時にその場で内容をハロワの担当者と一緒に確認し、内容を承諾しればその場でサイン。逆に異議がサインはせずあればその場で異議申し立てをします。異議申し立てをしていても受付は受理されますので、受給日のカウントはされます。ただし、異議申し立ての内容が解決されるまで保留となりますので受給開始が遅れる可能性はもちろんあります。しかし、解決すれば遡ってまとめて支払いされます。後に日数がずれたりはしません。

２一番いいのは退職証明書、解雇通知書、解雇予告通知書などをもらっておくことです。これがあれば間違いなく決着がつきます。ただし、それらを出すぐらいなら最初から離職票に虚偽はしないでしょう。もし、メールでやりとりなどがあればそれもきちんと取っておく。それらも不可なら少なくとも出来るだけ細かく事情をメモしておくことです。誰にいつなんと言われたか、記録を取っておく、そのまま異議申し立て書として申請するときに使えます。それでも水掛け論になる可能性もありますので、絶対に決着がつくと言い切ることはできません。ただし、最終的には会社都合であるかどうかは会社が認めなくても、ハロワがそう認めてくれたらいいわけです（会社都合と判断するのああくまでハロワです）
逆に絶対にしてはいけないのは、退職願を書く、離職票にサインをする。です。これがあるとひっくり返すのはほぼ不可能です。

３何日以内ではなく、手続きに行ったその日にその場で異議申し立てをします。

補足について：懲戒解雇は社会的にいうところの犯罪等は別として、会社の規約に基づきます。離職の手続きの時に欠勤による懲戒解雇であればそのようにうたってある会社の規約の提出が必要となります。簡単に懲戒できるわけではありません。
なにがあったら大丈夫かという保証は誰にも出来ませんが、記録を取っておくことは大事です。が、基本的には会社都合として離職票を作ってもらう、解雇通知書を出してもらうよう交渉するのが正当な手続きだと思います。
会社ともめずに辞めるのが一番ではあります。会社としても欠勤以外に理由をつけてくるなどの場合も無いとは言えませんから。

失業保険について！
失業保険をもらうまでに少しでもバイトして収入を得たらもらえないのですか？
また、再就職が決まった時点で受給資格を失いますか？

きちんと申告すれば問題ありません。
バイトした日分の給付をもらえません。カットされるのではなく、受給期間内で後送りになります。
ただし、週3日・20時間以内、1回の認定期間で14日以内というのが、可能とされる範囲だそうです。
それを超えると失業状態にないと判断されることになります。

再就職が決まった時点で、一定の給付日数が残っていれば、再就職手当が支給されます。
残給付日数が一定未満だと、打ち切りです。

旦那が３月に準社員だった会社を辞めて、無職になり、失業保険をもらいながら就職活動し、９月から正社員で働き始めました。

今年は税金を払っていくのに苦労しました。来年は税金が安くなるんですか？(今年旦那が無職だったから)

この年末に何か手続きをしなければいけませんか？
手続きはどこでどうしますか？
今の職場にまかせればいいんでしょうか？

自分が無職だったことがなくて全く分かりません。

前の職場から源泉徴収票をもらって今の職場にだして、年末調整を受けてください。

年末調整とは収入を合算させて所得を確定し、各種控除をして天引きされていた所得税を精算することです。

今年は税金が大変だった、というあたり住民税や国保税ではありませんか？

２３年度分はそのまま支払いになりますが、それを支払い終えれば住民税も天引きになります。
保険も社会保険になったのなら、後は支払いなしです。

追記
市民税は４期、国保税は７期にわけて納税通知、納付書が来てますよね。
何月、というよりそれが支払い終わったら、ということです。
国保税は社会保険になった時点で精算しているかと思いますが。